Mükemmel Sayı,Kendisi Hariç Çarpanlarının Toplamı Kendisini Veren Sayıdır.Bilinen Bütün Mükemmel Sayılar, Çift Sayıdır (6,28,496,8128, Gibi' ).Acaba Mükemmel Tek Sayı Var mıdır.' Varsa, Saklandığı Yerden Bulup Çıkartınız. Yoksa,Olmadığını İspatlayınız. Çözüm:
Mükemmel Çift Sayılar,2'.( 2''¹ - 1 ) Kuralına Göre Yazılabilirler.
n = 1 için n = 2 için n = 4 için 2 . 3 = 6,2² . 7 = 28,2'.31=496 Gibi
Dikkat Edilirse,2'' Çift Sayıdır Ve ( 2''¹ - 1 )İse Tek,Sayıdır.Çarpımı da Çift Sayı Olur. Mükemmel Tek Sayı Var İse çarpanları Tek Sayı Olmalıdır ki Tek Sayıyı Versin.Yani, X = ( 2k + 1 )'.[A] Şeklinde Yazabiliriz.X: Mükemmel Tek Sayı Kabul Edelim.
[A]: Tek Ve Asal Sayı Olsun.(2k+1): Tek Ve Asal Sayı Olsun.
Burada X Tek Sayı Olduğu İçin Asal Çarpanlarına Ayrıldığında Asal Çarpanları da Tek Sayıdır.(2k+1)'+(2k+1)¹+(2k+1)²+'+(2k+1)'+A+A.(2k+1)¹+A.(2k+1)²+'+ A.(2k+1)'¯¹ =(2k+1)'.A = X Şeklinde Yazılabilir. Buradan Hareketle,' _(p=o)^n(2k+1)'+A .' _(p=o)^(n-1)(2k+1)'=(2k+1)'.A '((2k+1) '^(+1)-1)/(( 2 k+1 )- 1) +A . (( 2 k+1 )'-1)/(( 2 k+1 )- 1) =( 2 k+1 )'.A'((2 k+1)'^(+1)-1)/(2k)+A.((2k+1)'-1)/(2k)=(2k+1)'.A
'((2 k+1 )'^(+1)-1+A.[(2k+1)'-1])/(2 k)=(2k+1)'.A '(2k+1)''¹-1+A.(2k+1)'-A=(2k).(2k+1)'.A'(2k+1)''¹ -1=A.(2k).(2k+1)'- A.(2k+1)' +A
'A.[(2k).(2k+1)'-(2k+1)'+1]=(2k+1)''¹-1'A.[(2k+1)' .( 2 k -1 ) + 1 ] = ( 2 k + 1 ) ''¹ -1 'A=((2 k+1 )'^(+1)-1)/((2k+1)' .(2 k-1 )+ 1)
İfadesi Elde Edilir. Burada A, Tek Ve Aynı Zamanda Asal Sayı Olmalıdır.
k=1 için ve n=1 için 'A=((2k+1)'^(+1)- 1)/(( 2 k+1 )'.(2k-1)+1)
'A=(3'^(+1)-1)/(3'+1)=(3²-1)/(3+1)= 8/4=2 2 Asal Sayıdır,Fakat Çift Sayı Olduğundan Çarpım Tek Sayı Çıkmaz. Yani 2.3=6 Sonucu Çıkar.A=3 Olsun(k=1 İçin)3=(3'^(+1)-1)/(3'+1)'3.3'+3=3'^(+1)-1 '3'^(+1)+3
=3'^(+1)- 1 '3 '-1 Sağlamadı. A=3 Ve k=2 Olsun 3=(5'^(+1)-1 )/(5 '.3+1)'9.5'+3=5.5'-1 '4.5' =-4'5' = -1(Bu Eşitliği Sağlayacak 'n' Tam Sayısı Yoktur.)Aynı Şekilde İşlemlere Devam Edilirse, Bu Eşitliği Sağlayacak A, Tek Ve Asal Sayı Olacak Şekilde(k) Ve (n) Tam Sayıları Yoktur.Sonuç Olarak, Mükemmel Tek Sayı Yoktur.