Goldbach kestirimi yüzyıllardır çözülemeyen matematik sorularından birisidir. Şimdi bu sorunun çözümünü yapmaya çalışalım:
2'den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir. Ayrıca iki asal sayının toplamı çift ise üç asal sayının toplamı da tek sayıdır. Bu ifadenin ya doğru olduğunu ya da yanlış olduğunu ispat ediniz.
2.n+2=x1+x2;n>0,n: pozitif doğal sayı ve x1,x2 asal sayılar olsun.
(x1/x2)+(x2/x1)>2 Ve 2'ye eşittir. (x1^2+x2^2)/(x1.x2)>2
(x1^2+x2^2-2.x1.x2)/(x1.x2)>0 ve ((x1+x2)^2-4.x1.x2)/(x1.x2)>0 Olur.
((2.n+2)^2-4.x1.x2)/(x1.x2)>0, (4.n^2+8.n+4-4.x1.x2)/(x1.x2)>0 Çıkar.
(4/(x1.x2)).n^2+(8/(x1.x2)).n+((4-4.x1.x2)/(x1.x2))>0 yazabiliriz.
Yukarıdaki ifade "n" değişkenine bağlı ikinci dereceden Bir denklemdir. Bu denklemin diskriminantı ise D=64/(x1.x2)^2-4.4/(x1.x2).
((4-4.x1.x2)/(x1.x2))=(64-64+64.x1.x2)/(x1.x2)^2=64/(x1.x2) yazılabilir.
n=((-8/(x1.x2)+(64/(x1.x2))^1/2)/(8/(x1.x2))= -1+(x1.x2)^1/2 olarak çıkar. Buradan n>-1+(x1.x2)^1/2 olur.
x1 ve x2 asal sayılar idi. Yani 3'ten büyük bir asal sayı (q,Pozitif Tamsayı Olmak Üzere) olarak (6.q+1) veya (6.q-1) formunda gösterebiliriz. x1=6.q+1,x2=6.q-1 şeklinde yazılabilir.
q=1 için, x1=7 ve x2=5 Olur.n>-1+(7.5)^1/2,n>-1+(5,9) Ve n>4,9 buradan da n=5 olarak alınır. 2.n+2=2.5+2=12 ve x1+x2=7+5 =12 ifadeleri yazılabilir. Görüldüğü gibi iki sonuç da birbirine eşit ve çift sayıdır.
Bu tür işlemlere devam edilirse daima aynı sonuçlar çıkar. Geriye kalan asal sayılar ise 2 ve 3'tür. 2+2=4, 3+3=6, 3+7=10 gibi sonuçlar yazılabilir.
Sonuç olarak 2'den büyük her çift sayı iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebilir. Ayrıca iki asal sayının toplamı çift olduğu için ve asal sayılar da 2 hariç tek sayı olduğu için üç asal sayının toplamı da tek sayıdır.